На что дает
Почему минус на минус дает плюс? ≪ ∀ x, y, z
«Враг моего врага — мой друг»
Почему минус один умножить на минус один равно плюс один? Почему минус один умножить на плюс один равно минус один? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.Давным-давно людям были известны только натуральные числа: Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть конфет и я отдам сестре , то у меня останется конфеты, а вот отдать ей конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).Рассмотрим для примера уравнение . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится , , . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить , . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что .
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку. Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами. Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики). В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец. Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс. Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:- сложение подчиняется сочетательному закону: для любых элементов и ;
- сложение подчиняется переместительному закону: для любых элементов и ;
- в кольце есть специальный элемент (нейтральный элемент по сложению) такой, что ;
- для любого элемента есть противоположный элемент (обозначаемый ) такой, что ;
- умножение подчиняется сочетательному закону: ;
- сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: и .
Теперь докажем, что для любых элементов и произвольного кольца верно, во-первых, , а во-вторых . Из этого легко следуют утверждения про единицы: и .
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента есть два противоположных: и . То есть . Рассмотрим сумму . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна , а с другой стороны, она равна . Значит, .
Заметим теперь, что и , и являются противоположными к одному и тому же элементу , поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: , то есть противоположно , значит, оно равно .
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему для любого элемента . В самом деле, . То есть прибавление не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.Евгений Епифанов «Элементы»
Правила знаков
Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Деление.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Умножение.
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Вычитание и сложение.
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.
|
Плюс на плюс дает минус
Война санкций между Россией и Западом не нанесет ущерба российскому рынку продовольствия. Наоборот, поможет диверсифицировать риски, уверен премьер Дмитрий Медведев. Эксперты, впрочем, прогнозируют рост издержек. Ежемесячно импортеры будут терять $300 млн. А в Евросоюзе оценивают последствия эмбарго как чрезвычайные и готовы выделить пострадавшим фермерам первую часть компенсаций. Войну санкций, вызванную присоединением Крыма к России, оценил премьер Дмитрий Медведев. Эффект от санкций будет несомненно положительным, считает премьер. Эмбарго на поставки продовольствия из западных стран «позволит перетряхнуть рынок, это плюс», уточнил Медведев на совещании с вице-премьерами. Второй «плюс» — эмбарго приведет к диверсификации поставщиков. Медведев отметил, что на рынке должна быть конкуренция, «а не ситуация, когда все яблоки, например, из Польши, или другие продовольственные товары, рыба та же — из Норвегии». Правда, премьер все же дал понять, что было бы лучше, чтобы война санкций закончились побыстрее. Запрет на импорт продовольствия «не будет продолжаться очень долго», выразил надежду премьер. Вице-премьер Аркадий Дворкович также не видит негатива от введения санкций. Перечень поставщиков продуктов питания только увеличится, считает он. При этом Дворкович признал, что правительство перестаралось со списком запрещенных товаров. Из-под санкций выведут необходимое больным людям питание, БАДы для спортсменов, семена и невинно пострадавших мальков рыб. «Существенных потрясений на рынке продовольствия нет» и «их вообще не будет», уверен Дворкович. Он добавил, что от санкций выиграет не только Россия, но и страны – члены Таможенного союза. Белоруссия и Казахстан будут перерабатывать часть продукции, которая раньше шла в Россию напрямую из ЕС. Запрещенная к ввозу в Россию сельхозпродукция может легально попадать на российский рынок через страны ТС в том случае, если значительная часть прибавочной стоимости импортной продукции будет создаваться в Белоруссии и Казахстане. Совсем иначе оценили последствия введения санкций в Европе. Европейская комиссия объявила в понедельник о применении чрезвычайных мер для поддержки европейских производителей скоропортящихся фруктов и овощей в связи с запретом на ввоз продовольствия в Россию. Меры поддержки касаются производителей помидоров, огурцов, моркови, капусты, перца, грибов, красных ягод, яблок, груш, винограда и киви. Пиковый сезон продаж этой продукции наступил, а возможности для их хранения ограниченyы, поиск альтернативных рынков затруднен. «Все фермеры, производящие указанную продукцию, могут воспользоваться мерами поддержки в любое время, когда сочтут такой шаг необходимым», — заявил еврокомиссар по вопросам сельского хозяйства Дачан Чолош. На компенсации европейским фермерам выделяется €125 млн. Эта сумма пойдет на выкуп продукции (в том числе для ее последующей бесплатной раздачи), а также на компенсации производителям за отказ от сбора урожая (чтобы снизить потери при сборе и реализации по низкой цене) или за сбор недозрелых фруктов и овощей. Эти меры вводятся 18 августа и будут действовать до конца ноября. На изъятие продукции Еврокомиссия будет выделять до 50% стоимости изъятого товара. Руководство ЕС продолжит отслеживать влияние на рынок российского эмбарго и по-прежнему готово немедленно оказать поддержку секторам, которые более других зависят от экспорта продукции в Россию, отмечается в заявлении, размещенном на официальном сайте ЕК. По мнению экспертов, опрошенных «Газетой.Ru», эмбарго Запада и ответные российские санкции будут разорительными и для многих отечественных импортеров. Они будут нести убытки в течение всего срока действия санкций, считают эксперты, опрошенные «Газетой.Ru». «Ущерб от санкций можно оценить как минимум в $300 млн ежемесячно», — говорит гендиректор «Infoline-аналитика» Михаил Бурмистров. Это прогноз на ближайшие месяцы, уточняет Бурмистров, а впоследствии ущерб от санкций может снизиться «при условии, что произойдет замещение импорта отечественными аналогами». Поставщик продуктов питания для столовых, кафе и ресторанов Московского региона кoмпания «Арт-Фуд» подтвердила, что срочно прекратила поставки, в частности импортной рыбы, попавшей в санкционный список. «Арт-Фуд» ранее поставляла барабульку, форель и конгрио из Испании, кильку из Эстонии, мойву, палтуса, сельдь, семгу и скумбрию из Норвегии, хек из Канады и США. «Впрочем, рыба поставлялась в небольших объемах, чаще под заказ, ущерб тут невелик. А вот замороженные овощи (брокколи и брюссельская капуста) из Польши составляли значительную часть поставок», — уточнили в компании. Пока еще рано говорить о каких-то потерях и ущербе, пояснили в «Азбуке Вкуса» и предупредили, что компания оперирует сравнительно небольшими объемами продукции, попавшей под санкции. Компания-импортер «Каста дива», специализирующаяся на закупках масла и сыра из Европы, с Украины и из Белоруссии, заявила, что сохранила в полном объеме только белорусский ассортимент молочной продукции. О масштабном импорте украинских и финских товаров напоминает теперь только реклама фантомных товаров на официальном сайте компании: «В нашем прайсе представлено сливочное масло производства России и стран СНГ, знаменитые сорта финляндского масла «Валио» и «Тысяч озер» и новозеландского «Анкор». Представитель сети супермаркетов «Лента» отказался от официального комментария. Источник в компании пояснил, что ущерб от санкций будет просчитан к концу текущей недели. Но обнародовать размер ущерба компания, скорее всего, не будет. Еще несколько ритейлеров, опрошенных «Газетой.Ru», не смогли предоставить оперативный комментарий на тему введения санкций. Официальная позиция ритейлеров закреплена в заявлении АКОРТ — Ассоциации компаний розничной торговли. И компании стараются максимально придерживаться его. АКОРТ считает, что введение санкций «не несет угрозы для развития отечественного ритейла, а напротив, послужит его развитию через совершенствование ассортиментной политики». Не пострадает и покупатель: запрещенный импорт будет непременно замещен «продукцией отечественных производителей или, при необходимости, импортом из стран, на которые не распространяются ограничения». Это страны – члены Евразийского и Таможенного союзов, Азиатско-Тихоокеанского региона, включая Китай и Индию, Латинской Америки, Африки, а также Турцию, Иран и многие другие. По расчетам АКОРТ, в течение месяца-двух российские торговые сети смогут переориентироваться на новых надежных поставщиков практически по всем импортным продуктам, попавшим в санкционный список. 6 августа президент Владимир Путин своим указом ввел ответные санкции за запрет ввоза сельхозпродукции из США, Евросоюза, Канады, Австралии и Норвегии, а 7 августа года был обнародован список продуктов, запрещенных к ввозу в Россию. Запрещены к ввозу мясо крупного рогатого скота, свинина, мясо домашней птицы, рыба, моллюски, молоко и молочная продукция, сыры, колбасы, овощи, фрукты, орехи. Список уточняется. По данным АКОРТ, доля импорта в продовольственных товарах торговых сетей колеблется в пределах 25–35%. Сюда входят поставки продуктов сельского хозяйства из стран, как поддержавших санкции против России (США, Канада, ЕС, Австралия, Норвегия), так и тех, кто не поддерживает эти санкции. В течение года, пока будут действовать санкции, российские импортеры потеряют примерно $3–4 млрд, подсчитал Бурмистров. Это примерно треть всей сельхозпродукции, поступавшей преимущественно из Европы и попавшей под санкции. Негативный эффект от санкций был бы снижен, если бы власти ввели переходный период или хотя бы дали возможность ввести продукцию, которая уже находилась в пути или на границе. Корректно подсчитать ущерб от санкций сложно, поясняет заместитель заведующего кафедрой мировой экономики НИУ ВШЭ Игорь Ковалев. «Отечественные импортеры не хотят говорить об ущербе от санкций — действует политический фактор», — говорит Ковалев, добавляя, что желаемого эффекта санкции все равно не дадут. Достаточно вспомнить санкции Запада относительно Кубы или Ирана. Кроме того, российский бизнес в отличие от западного не вполне прозрачен. По этой причине подсчитать реальный ущерб будет сложно, отмечают эксперты. Импорт вырастет в цене, и Росстат покажет, что в стоимостном выражении объем импорта не снизился, указывает Бурмистров на особенности отечественной статистики. Рустем Фаляхов
... ...Google+
Подписывайтесь на канал МинПром в Telegram, читайте нас в Facebook и Twitter, чтобы первыми узнавать о новых материалах и ключевых событиях дня.
Комментарии
Новости партнеров
